آنچه در این مطلب خواهید آموخت
اعداد صحیح
در سال های گذشته با عددهای مثبت و منفی و نمایش آنها روی محور آشنا شده‌اید. اکنون با اعداد طبیعی و صحیح که دسته بندی های مختلفی از اعداد هستند ، آشنا می‌شویم.
اعداد طبیعی: … و ۵ و ۴ و ۳ و ۲ و ۱
اعداد صحیح: … و ۵+ و ۴+ و ۳+ و ۲+ و ۱+ و ۰ و ۱- و ۲- و ۳- و ۴- و ۵- و …
اعداد صحیح به سه دسته تقسیم می‌شوند:
عددهای صحیح مثبت ، صفر ، عددهای صحیح منفی
طبق تعریف عددهای طبیعی و صحیح می‌توان فهمید که عددهای صحیح مثبت همان عددهای طبیعی‌اند؛ برای مثال می‌توان نوشت:
۹+=۹ و ۵=۵+
محور اعداد صحیح
مطابق محور اعداد صحیح نکات زیر به دست می‌آید:
- هر عدد صحیح مثبت از صفر بزرگ تر است. مانند: ۰<5+
- هر عدد صحیح منفی از صفر کوچک تر است. مانند: ۰<100-
- هر عدد صحیح مثبت از هر عدد صحیح منفی بزرگ تر است. مانند: ۱۰۰-<1+
- وقتی می‌گویند نامنفی یعنی اعداد مثبت و صفر. (… ، ۳ ، ۲ ، ۱ ، ۰)
- وقتی می‌گویند نامثبت یعنی اعداد منفی و صفر. (۰ ، ۱- ، ۲- ، ۳- ، …)
- بر روی محور اعداد صحیح هرچه به سمت راست پیش برویم اعداد بزرگ تر می‌شوند و هرچه به سمت چپ پیش برویم اعداد کوچک تر می‌شوند.
- بر روی محور اعداد صحیح همیشه عددی که سمت راست قرار می‌گیرد، بزرگ تر است. مانند: ۵-<4-
- در نوشتن اعداد مثبت می توان علامت + را حذف کرد یعنی اعداد طبیعی (بدون علامت) همان اعداد مثبت هستند. مانند: ۵+=۵
- عدد صفر نه مثبت است نه منفی.
مثال ۱ : کوچک ترین عدد صحیح بزرگ تر از ۹- چیست؟
پاسخ مثال ۱
ابتدا اعداد بزرگ تر از ۹- را می‌نویسیم:
… و ۵- و ۶- و ۷- و ۸-
که در بین این اعداد ، عدد ۸- از بقیه کوچک تر است.
مثال ۲ : بزرگ ترین عدد صحیح کوچک تر از ۵- چیست؟
پاسخ مثال ۲
ابتدا اعداد کوچک تر از ۵- را می‌نویسیم:
۶- و ۷- و ۸- و ۹- و …
که در بین این اعداد ، عدد ۶- از بقیه بزرگ تر است.
قرینه یک عدد صحیح
برای نمایش قرینه هر عدد از نماد ( – ) در سمت چپ عدد استفاده میکنیم. مانند:
- هر گاه علامت عددی را تغییر دهیم، قرینه آن عدد به دست می‌آید. مانند:
- قرینه عدد صفر خودش می‌باشد.
- قرینه قرینه هر عدد برابر با خودش است. مانند:
- هرگاه تعداد قرینه کردن ها فرد باشد، عدد قرینه می‌شود. مانند:
- هرگاه تعداد قرینه کردن ها زوج باشد، عدد تغییر نمی‌کند. مانند:
مثال ۳ : قرینه اعداد ۹+ ، ۲۷ و ۱۳- را به دست آورید.
پاسخ مثال ۳
مثال ۴ : قرینه‌ی یک عدد صحیح ، از خودش بزرگ تر است. در این صورت این عدد حتما:
الف)صفر است ب)مثبت است
ج)منفی است د)بدون علامت است
پاسخ مثال ۴
پاسخ گزینه ج است، زیرا قرینه هر عدد منفی ، عددی مثبت است و طبق محور اعداد صحیح می‌دانیم که هر عدد مثبت از هر عدد منفی بزرگ تر است.
حرکت بر روی محور اعداد صحیح
برای تعیین عدد یک حرکت باید نکات زیر را رعایت کرد:
- جهت حرکت، علامت را مشخص می‌کند. حرکت به سمت راست با علامت + و حرکت به سمت چپ با علامت – مشخص می‌شود.
- طول حرکت عدد را مشخص می‌کند. با شمارش واحدهای محور، طول یا اندازه حرکت مشخص می‌شود.
- اگر ابتدا و انتهای حرکت هر دو روی یک عدد صحیح باشند، آن حرکت را با عدد صفر نمایش می‌دهیم.
مثال ۵ : برای هر حرکت روی محور یک عدد صحیح بنوسید.
پاسخ مثال ۵
حال اگر دو حرکت روی محور پشت سر هم انجام شود، می‌توان با آن ها یک جمع نوشت.
مثال ۶ : متناظر با محور زیر، یک جمع بنویسید.
پاسخ مثال ۶
جمع اعداد صحیح
محور عددهای صحیح: برای یافتن حاصل جمع در این روش به ترتیب حرکت ها را روی محور رسم میکنیم. انتهای آخرین حرکت ، پاسخ مورد نظر است. دقت کنید اولین حرکت را از صفر (مبدأ) شروع میکنیم.
مثال ۷ : حاصل جمع های زیر را به کمک محور به دست آورید.
پاسخ مثال ۷
(۵+) = (۲+) + (۳+)
(۲+) = (۲-) + (۴+)
- حاصل جمع هرعدد صحیح باصفر برابر با خود آن عدد است. مانند:
- حاصل جمع هرعدد صحیح باقرینه‌اش برابر صفر است. مانند:
.
دایره توپر و توخالی: در این روش برای اعداد مثبت دایره های توخالی و برای اعداد منفی دایره های توپر رسم میکنیم. هر دایره توپر با یک دایره توخالی حذف می‌شود و آنچه باقی می‌ماند حاصل جمع است.
مثال ۸ : با رسم شکل دایره های توپر و توخالی حاصل جمع های زیر را به دست آورید.
= (۳-) + (۴+) (الف
= (۳+) + (۵-) (ب
پاسخ مثال ۸
.
محاسبه از طریق علامت ها: با توجه به پاسخ های به دست آمده در قسمت های قبل نتیجه می‌گیریم که:
- اگر دو عدد صحیح مثبت باشند ، حاصل جمع آن ها همانند جمع دو عدد طبیعی است. مانند:
- اگر دو عدد صحیح منفی باشند ، حاصال جماع آن همانند جمع دو عدد طبیعی است البته با غلامت منفی. مانند:
- اگر دو عدد صحیح با علامت های مختلف باشند ، حاصل جمع برابر است با تفاضل آن دو عدد با علامت عددی که مقدار آن (بدون در نظر گرفتن علامت ها) بیش تر است. مانند:
.
جدول ارزش مکانی: در این روش پس از گسترده نویسی و قرار دادن اعداد صحیح در جدول ارزش مکانی به این صورت عمل میکنیم:
علامت مثبت یا منفی هر عدد به تمام دسته هایش تعلق دارد. در هر ستون اگر هر دو عدد هم علامت باشند، آن ها را با هم جمع میکنیم و یکی از علامت ها را می‌نویسیم. اگر هر دو عدد هم علامت نباشند آن ها را از هم کم میکنیم و علامت عددی که مقدار آن (بدون در نظر گرفتن علامت ها) بیش تر است را قرار می‌دهیم.
مثال ۹ : حاصل عبارات زیر را به روش ارزش مکانی به دست آورید.
= ۳۹ – ۲۷ (الف
= ۶۷ – ۱۳ – ۲۱ (ب
پاسخ مثال ۹
ضرب اعداد صحیح
مثال ۱۰ : با توجه به محور و حرکت های انجام شده یک ضرب بنویسید.
پاسخ مثال ۱۰
مثال ۱۱ : با توجه به محور و حرکت های انجام شده یک ضرب بنویسید.
پاسخ مثال ۱۱
مثال ۱۲ : ضرب (۲-) × ۳ را روی محور نشان دهید و حاصل را به دست آورید.
پاسخ مثال ۱۲
.
به طور کلی:
- حاصل ضرب یک عدد مثبت در عددی مثبت برابر عددی مثبت خواهد شد. مانند:
- حاصل ضرب یک عدد مثبت در عددی منفی برابر عددی منفی خواهد شد. مانند:
- حاصل ضرب یک عدد منفی در عددی مثبت هم برابر عددی منفی خواهد شد. مانند:
- حاصل ضرب یک عدد منفی در عددی منفی برابر عددی مثبت خواهد شد. مانند:
به زبان ساده تر حاصل ضرب دو عدد هم علامت ، عددی مثبت خواهد شد و حاصل ضرب دو عدد غیر هم علامت، عددی منفی خواهد شد.
تقسیم اعداد صحیح
مثال ۱۳ : حاصل تقسیم های زیر را به دست آورید.
= (۶+) ÷ (۱۲-) (الف
= (۳-) ÷ (۱۲-) (ب
پاسخ مثال ۱۳
ترتیب عملیات
اگر در یک عبارت چند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق داشته باشیم، از چپ به راست با توجه به ترتیب قرارگرفتن آن ها عمل میکنیم.
مثال ۱۴ : حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.
پاسخ مثال ۱۴
حل مسئله به کمک اعداد صحیح
مثال ۱۵ : احمد روی یک نردبان بلند ایستاده بود. او ابتدا ۵ پله بالا رفت و سپس ۲ پله پایین آمد و دوباره ۴ پله بالا رفت و در آخر نیز ۶ پله پایین آمد. در این صورت رایان نسبت به جای اول خود چه وضعی دارد؟
پاسخ مثال ۱۵
نسبت به وضعیت اولیه یک پله بالاتر است.
مثال ۱۶ : در یک روز زمستانی دمای هوای دزفول ۳ درجه بالای صفر و دمای هوای اراک ۵ درجه زیر صف رمی‌باشد. اختلاف دمای این دو شهر را به دست آورید.
پاسخ مثال ۱۶
اختلاف دمای این دو شهر برابر ۸ درجه است.
مثال ۱۷ : شهر رشت ۸ متر از سطح دریا پایین تر و اهواز ۱۰ متر بالاتر از سطح دریا است. میانگین فاصله آن ها از سطح دریا چه قدر است؟
پاسخ مثال ۱۷
میانگین فاصله آن ها از سطح دریا ۱ متر است.
مثال ۱۸ : در یک روز تابستانی دمای هوای اهواز ۳۱ درجه بالای صفر و دمای تبریز ۱۵ درجه خنک تر از اهواز است. دمای هوای تبریز چند درجه است؟
پاسخ مثال ۱۸
دمای هوای تبریز ۱۶ درجه بالای صفر است.
شما عزیزان می‌توانید برای تمرین و تسلط بیشتر در فصل دوم ریاضی هفتم ، به بخش نمونه سوالات مربوط به این فصل مراجعه کنید.
خیلی خوب بود تونستم نکات رو کامل یاد بگیرم. هرچند که خود این فصل هم آسون بود. ممنونم.
مریلا جان یک جمله معروف هستش که میگه : هر چیز که در جستن آنی، آنی.
این دقیقا بیان حال شماست
یعنی هر چیز که بری سراغش حتی اگر هم سخت باشه، در نهایت برات آسون میشه ولی به شرط اینکه بری سراغش.
خدا رو شکر میکنیم که اعضای مثل شما داریم که با خوندن مطالب، همه چیز براشون آسون میشه.
ما الان میتونیم بگیم به تنها هدفی که با راه اندازی این وبسایت داشتیم، رسیدیم.
درس نامه‌ی خوب و کاربردی
متشکریم از نظر خوبتون
عالی عالی من باید یه نشریه درست کنم درمورد فصل۲ تونستم با سایت شما کل فصلو جمع بندی کنم و بهتر بفهمم و توی نشریه‌ام بنویسم🌹🥲