آنچه در این مطلب خواهید آموخت
چگونه مسئله را حل کنیم؟
عنوان این فصل راهبردهای حل مسئله است. پس در فصل اول کتاب ریاضی هفتم میخواهیم درباره روش ها و فنون حل کردن مسئله صحبت کنیم. امّا حل هر مسئله ۴ مرحله دارد. وقتی با مسئله ای مواجه می‌شوید، این چهار مرحله را در ذهن خود مرور کنید.
مرحله اول: فهمیدن مسئله
مرحله دوم: انتخاب راهبرد(روش یا راه حل) مناسب
مرحله سوم: اجرای راهبرد
مرحله چهارم: بازگشت به عقب.
در کتاب درسی (در دو صفحه پیش از شروع فصل اول) این مرحله ها توضیح داده شده است. حالا به سراغ راهبردهای حل مسئله که در کتاب ذکر شده است می‌رویم؛ البته عزیزان به یاد داشته باشید نیازی به حفظ کردن نام راهبردها یا تعریف آنها نیست ، بلکه مهم یادگیری خود راهبرد است.
برای یادگیری این راهبردها، ابتدا به توضیح مختصری از هر کدام از آنها پرداختیم و سپس با ارائه چند مثال برای هر راهبرد، نحوه کاربرد و استفاده آن در مسئله را نشان داده‌ایم. سعی کنید ابتدا خودتان مثال ها را حل کنید و مستقیم پاسخ آنها را نگاه نکنید.
در این فصل ۸ راهبرد برای حل مسئله آورده شده است:
شما عزیزان می‌توانید برای تمرین و تسلط بیشتر در فصل اول ریاضی هفتم ، به بخش نمونه سوالات مربوط به این فصل مراجعه کنید.
راهبرد رسم شکل
مثال ۱ : یک استخر مستطیل شکل به طول ۲۰ متر و عرض ۱۰ متر است. اگر به فاصله یک متر از لبه استخر دور تا دور آن نرده بکشیم، چند متر نرده لازم داریم؟
پاسخ مثال ۱
ابتدا یک مستطیل دلخواه رسم می کنیم(نشان دهنده شکل استخر است)
دور آن به فاصله ۱ متر از هرطرف یک خط می‌کشیم. یک مستطیل جدید رسم می شود(که نشان دهنده نرده ها است)
که طول آن برابر ۲۲=۱+۱+۲۰ و عرض آن ۱۲=۱+۱+۱۰ می‌باشد. محیط این مستطیل جدید ۶۸=(۲۲+۱۲)۲ است.
پس یعنی ۶۸ متر نرده لازم است.
مثال ۲ : یک میز مربع شکل به مساحت ۴متر مربع است. برای زیبایی بیشتر روی این میز یک رومیزی پهن شده که از هر طرف ۱۵ سانتی متر بیشتر از ضلع میز است. میخواهیم دور آن را با نوار لبه دوزی کنیم چند سانتی متر نوار برای لبه دوزی رومیزی لازم است؟
پاسخ مثال ۲
ابتدا دقت کنید اگر مساحت مربع ۴ متر مربع است، بنابراین ضلع آن ۲ متر یا ۲۰۰ سانتی متر است.
حالا به کمک رسم شکل طول ضلع رومیزی را محاسبه می‌کنیم.
طبق شکل به هر طرف ۱۵ سانتی متر و در کل به هر ضلع ۳۰ سانتی متر اضافه می‌گردد.
طول نوار مورد نیاز برای لبه دوزی رومیزی برابر است با محیط رومیزی؛ پس:
۹۲۰=۲۳۰×۴
بنابراین ۹۲۰ سانتی متر نوار برای لبه دوزی این رومیزی مورد نیاز است.
مثال ۳ : توپی از ارتفاع ۳۶۰ سانتی متری زمین رها می‌شود. پس از زمین خوردن به اندازه ثلث ارتفاع قبلی خود بالا می‌آید.
الف) مرتبه اول که زمین می‌خورد، تا چه ارتفاعی بالا می‌آید؟
ب) از لحظه رها شدن تا دومین زمین خوردن چند سانتی متر حرکت کرده است؟
پاسخ مثال ۳
الف) ارتفاع توپ از زمین ۳۶۰ سانتی متر است و ثلث آن یعنی ۱۲۰=۳÷۳۶۰ می‌باشد. پس وقتی توپ برای اولین بار به زمین برخورد می‌کند، ۱۲۰ سانتی متر بالا می‌رود.
ب) برای پاسخ به این قسمت شکل زیر را در نظر می‌گیریم.
مرتبه اول که زمین می خورد ۱۲۰ سانتی متر بالا می‌آید و باز به سمت زمین می‌رود.
پس از لحظه ی رها شدن تا دومین برخوردش با زمین :
۶۰۰=۳۶۰+۱۲۰+۱۲۰
پس ۶۰۰ سانتی متر حرکت کرده است.
راهبرد الگوسازی
دقت داشته باشید که ممکن است نظم به کار رفته توسط شما با نظم و الگوی در نظر گرفته شده توسط دوستتان در همان مسئله متفاوت باشد.
مثال ۴ : دو عدد طبیعی بنویسید که حاصل ضرب آنها ۲۰ و حاصل جمع آنها کمترین مقدار ممکن باشد.
پاسخ مثال ۴
در یک جدول همه عددهای طبیعی که حاصل ضرب آنها ۲۰ باشد را می‌نویسیم.
عددهای اول جدول را به ترتیب از کوچک به بزرگ می‌نویسیم. سپس یک ستون جدید به جدول اضافه می‌کنیم و حاصل جمع عددهای هر ردیف را می‌نویسیم:
با مقایسه‌ی پاسخ ها مشاهده می‌کنیم که کمترین حاصل جمع ، عدد ۹ است. بنابراین اعداد مورد نظر ۴ و ۵ هستند.
مثال ۵ : تعداد زیادی اسکناس ۱۰۰۰ و ۲۰۰۰ تومانی داریم. به چند روش می‌توان با آنها مبلغ ۱۰۰۰۰ تومان خرید کرد؟
پاسخ مثال ۵
در یک جدول می‌توان حالت هایی را نوشت که جمع اسکناس های ۱۰۰۰ و ۲۰۰۰ تومانی ۱۰۰۰۰ تومان شود :
«پنج اسکناس ۲۰۰۰» یا «۴ اسکناس دو هزاری و ۲ اسکناس هزاری» یا «سه اسکناس ۲۰۰۰ و چهار اسکناس ۱۰۰۰» یا «۲ اسکناس دو هزاری و ۶ اسکناس هزاری» یا «یک اسکناس ۲۰۰۰ و هشت اسکناس ۱۰۰۰» یا «۱۰ اسکناس هزاری»
یعنی به ۶ حالت می توان مبلغ ۱۰۰۰۰ تومان را با اسکناس های ۱۰۰۰ و ۲۰۰۰ تومانی پرداخت کرد.
مثال ۶ : با انگشتان یک دست به چند حالت می‌توان عدد ۳ را نشان داد؟
پاسخ مثال ۶
۵ انگشت یک دست را نامگذاری می‌کنیم: الف ، ب ، ج ، د ، ه
مرتبه اول همه حالت هایی که انگشت الف باشد را می‌نویسیم :
(الف،ب،ج) یا (الف،ب د) یا (الف،ب،ه) یا (الف،ج،د) یا (الف،ج،ه) یا (الف،د،ه)
وقتی مطمن شدیم که همه را نوشتیم انگشت الف را کنار گذاشته و همه حالت های انگشت ب را می‌نویسیم :
(ب،ج،د) یا (ب،ج،ه) یا (ب،د،ه)
سپس انگشت ب را کنار گذاشته و همه حالت های انگشت ج را می‌نویسیم : (ج،د،ه)
پس یعنی ۱۰=۱+۳+۶ حالت برای نشان دادن عدد سه وجود دارد. این حالتها را می‌توان در جدول زیر خلاصه کرد:
راهبرد حذف حالت های نامطلوب
مثال ۷ : حاصل ضرب سن سه نفر ۵۰ و مجموع آنها ۱۲ است. سن آن سه نفر را بیابید.
پاسخ مثال ۷
به کمک جدول نظام دار همه عددهایی را می‌نویسیم که حاصل ضرب ۵۰ داشته باشند:
دقت داشته باشید نیازی به نوشتن حالت های تکراری نیست. بنابراین این سه نفر ۲ و ۵ و ۵ ساله هستند.
مثال ۸ : کوچکترین عدد طبیعی ۳ رقمی که بر ۱۵ بخش پذیر باشد را بیابید.
پاسخ مثال ۸
به ترتیب عددها را از صد می‌نویسیم. ۱۰۰ و ۱۰۱ و ۱۰۲ و ۱۰۳ و ۱۰۴ و ۱۰۵
با بررسی بخش پذیری می‌فهمیم چهار عدد اول بر ۱۵ بخش پذیر نیستند و ۱۰۵ کوچکترین عدد سه رقمی است که بر ۱۵ بخش پذیر است.
مثال ۹ : دوست شما یک عدد طبیعی کوچک تر از ۱۰۰ در نظر گرفته است. شما باید با طرح چند سوال عدد مورد نظر را پیدا کنید و او فقط می‌تواند در پاسخ به سوالات شما از بله یا خیر استفاده کند. کدام یک از سوالات زیر مناسب تر است؟
الف) آیا عدد مورد نظر ۲۷ است؟
ب) آیا عدد مورد نظر زوج است؟
پاسخ مثال ۹
الف) پرسش مناسبی نیست؛ زیرا در صورتی که جواب خیر باشد فقط عدد ۲۷ را از بین اعداد مورد نظرحذف کرده‌ایم.
ب) پرسش مناسبی است؛ زیرا در هر دو حالت پاسخ بله یا خیر نصف اعداد حذف می‌شوند.
راهبرد الگویابی
مثال ۱۰ : شکل دهم از چند چوب کبریت ساخته می‌شود؟
پاسخ مثال ۱۰
به جدول زیر دقت کنید :
با توجه به تعداد چوب کبریت ها و رابطه‌ی بین تعداد و شماره‌ی شکل برای شکل دهم الگوی زیر را داریم :
تعداد چوب کبریت شکل دهم = ۳×۹+۱
بنابراین شکل دهم از ۲۸ چوب کبریت ساخته می‌شود.
مثال ۱۱ : سه عدد بعدی الگوهای زیر را بنویسید و رابطه بین عددها را توضیح دهید.
… و … و … و ۱۶ و ۹ و ۴ و ۱ (الف
… و … و … و ۱۶ و ۱۱ و ۶ (ب
پاسخ مثال ۱۱
الف) شماره عدد در خودش ضرب می شود، یعنی :
ب) هر عدد از جمع عدد ۵ با عدد قبلی به وجود آمده است، پس :
مثال ۱۲ : با توجه به الگو بین تساوی ها، حاصل علامت سوال را بیابید.
پاسخ مثال ۱۲
عددهای سمت چپ همه فرد هستند و برای محاسبه‌ی حاصل جمع آنها کافی است تعداد عددها را در خودش ضرب کرد. به طور مثال خط سوم حاصل جمع سه عدد ۱ و ۳ و ۵ برابر است با : ۳×۳
در تساوی آخر ۱۷ عدد فرد با هم جمع شده اند یعنی حاصل می شود :
۲۸۹=۱۷×۱۷
راهبرد حدس و آزمایش
مثال ۱۳ : در یک میدان سوارکاری ۲۰ اسب و سوارکار وجود دارد. اگر تعداد ۵۶ پا وجود داشته باشد، چند اسب و چند سوارکار حضور دارند؟
پاسخ مثال ۱۳
حدس اول: ۱۰ اسب(۴۰ پا) و ۱۰ سوارکار(۲۰ پا) ، یعنی ۶۰=۲۰+۴۰ پا وجود دارد که متوجه می‌شویم حدس مان نادرست است و چون جواب از ۵۶ بیشتر است پس باید تعداد اسب ها کمتر باشد.
حدس دوم: ۹ اسب(۳۶ پا) و ۱۱ سوارکار(۲۲ پا) ، یعنی ۵۸=۲۲+۳۶ پا که نادرست است و باز هم جواب بیشتر از ۵۶ است. پس مجددا تعداد اسب ها را کمتر می‌کنیم.
حدس سوم: ۸ اسب(۳۲ پا) و ۱۲ سوارکار(۲۴ پا) باشند ، یعنی ۵۶=۲۴+۳۲ که پاسخ درست است.
در هر مرحله جمع عددهای حدس باید ۲۰ باشد، مثلا مرحله دوم ۲۰=۹+۱۱ یا مرحله سوم ۲۰=۸+۱۲ می‌باشد.
می‌توان حدس ها را در یک جدول نوشت و بررسی نمود:
مثال ۱۴ : دو زاویه مکمل هستند. اگر زاویه بزرگتر از سه برابر زاویه کوچکتر به اندازه ۴ درجه بزرگتر باشد، اندازه هر زاویه را بنویسید.
پاسخ مثال ۱۴
دو زاویه مکمل هستند، یعنی جمع دو زاویه ۱۸۰ درجه است. زاویه بزرگتر از سه برابر زاویه کوچکتر به اندازه ۴ درجه بزرگتر است یعنی اگر زاویه کوچکتر مثلا ۳۰ درجه باشد زاویه بزرگتر ۹۴=۴+۳۰×۳ درجه است.
جدولی برای بررسی حدس ها تشکیل می‌دهیم.
حدس ۴۰ کوچکتر از ۱۸۰ شد و ۵۰ بزرگتر از ۱۸۰ ، پس حدس بعدی عددی بین ۴۰ و ۵۰ انتخاب شد. با بررسی حدس ۴۴ و ۱۳۶ به پاسخ مسئله می‌رسیم.
راهبرد زیرمسئله
مثال ۱۵ : سارا هر روز ۱۷ صفحه از کتابی را می‌خواند. پس از یک هفته نصف کتاب را خوانده است. کل کتاب چند صفحه است؟
پاسخ مثال ۱۵
مسئله را به زیرمسأله های زیر تقسیم می‌کنیم و پاسخ می‌دهیم :
مسئله اول: سارا در یک هفته چند صفحه مطالعه کرده است؟ ۱۱۹=۱۷×۷
مسئله دوم: نصف چه عددی ۱۱۹ می‌باشد؟ ۲۳۸=۱۱۹×۲
مثال ۱۶ : آرش با ۱۰۰۰۰ تومان ۵ خودکار ۱۳۰۰ تومانی خرید. او می‌خواهد با بقیه پول خود مداد ۸۰۰ تومانی بخرد. آرش حداکثر چند مداد می‌تواند بخرد؟ چقدر پول برایش باقی می‌ماند؟
پاسخ مثال ۱۶
مسئله را به زیرمسأله های زیر تقسیم می‌کنیم و پاسخ می‌دهیم :
مسئله اول: برای خرید ۵ خودکار چقدر باید پرداخت کرد؟ ۶۵۰۰=۱۳۰۰×۵
مسئله دوم: چقدر از پولش باقی مانده است؟ ۳۵۰۰=۶۵۰۰ – ۱۰۰۰۰
مسئله سوم: چند مداد می‌تواند بخرد؟ برای پیدا کردن تعداد مدادها تقسیم زیر را انجام می‌دهیم :
بنابراین، حداکثر ۴ مداد می تواند بخرد و با خرید این ۴ مداد ۳۰۰ تومان برایش باقی می ماند.
راهبرد رسم حل مسئله ساده تر
مثال ۱۷ : حاصل عبارت زیر را بیابید.
پاسخ مثال ۱۷
ابتدا نمونه های ساده تر را حل می‌کنیم:
.
جمع دو کسر اول :
.
جمع سه کسر اول :
.
با مقایسه این دو نمونه این الگو مشاهده می‌شود که حاصل عبارت کسری است که مخرج آن بزرگترین عدد مخرج و صورت یک واحد از مخرج کوچکتر است. پس حاصل عبارت می‌شود :
.
مثال ۱۸ : قد یک بسکتبالیست ۱/۹۷ متر است و طول بدن یک مورچه ۴۹ میلی متر است. قد بسکتبالیست تقریبا چند برابر مورچه است؟
پاسخ مثال ۱۸
قد بسکتبالیست تقریبا دو متر یا ۲۰۰ سانتی متر و طول بدن مورچه تقریبا ۵ سانتی متر است. پس:
(تقریبا ۴۰ برابر است) ۴۰=۵÷۲۰۰
راهبرد روش های نمادین
مثال ۱۹ : عددی را ۶ برابر و یک واحد از آن کم کردیم، حاصل ۵۳ شد. آن عدد چیست؟
پاسخ مثال ۱۹
طبق گفته سوال داریم :
۵۳ = ۱ – … × ۶
برای پیدا کردن جواب می‌توان از راه حدس و بررسی آن به پاسخ ۹ رسید و یا برعکس عمل کرد:
شما عزیزان می‌توانید برای تمرین و تسلط بیشتر در فصل اول ریاضی هفتم ، به بخش نمونه سوالات مربوط به این فصل مراجعه کنید.
ببخشید تفاوت راهبرد الگوسازی با الگویابی چی هستش؟
گاهی وقتها در بعضی از مسئله ها تمام حالت های ممکن خواسته می‌شود. در این گونه مواقع بهتر است برای حل مسئله از راهبرد الگوسازی استفاده کنیم و با رسم یک جدول منظم، اعداد و ارقام و داده های مسئله را مرتب کرده تا بتوانیم تمام حالت های صحیح برای جواب مسئله را به دست آوریم اما در الگویابی بین عددها و شکل ها رابطه ای وجود دارد که ما باید با خلاقیت خود این رابطه ها را پیدا کنیم.
واقعا عالی بود
مرسی
ممنون از لطفی که به ما دارید
عجب نکات خوبی برای فصل اول ریاضی هفتم گفتید
ممنون از زحماتی که میکشید
موفق باشید
انشالا تونسته باشیم کمکی بهتون کرده باشیم